2020年全国卷数学题：胡夫金字塔问题解法及解析

2020年全国高考数学试题中，一道以胡夫金字塔为背景的题目引起了广泛关注和讨论。这道题不仅融合了历史与数学，还考验了考生对几何、三角函数等知识点的综合运用能力。下面，我们将详细解析这道题的解法，并给出完整的答案，以便广大考生和数学爱好者深入理解。

题目描述：古埃及的胡夫金字塔是一座四面体建筑，其底面为正方形，四个侧面均为等腰三角形。已知胡夫金字塔的底面边长为230.4米，侧面与底面所成的角（即侧面与底面法线的夹角）为51°50'。试求：

（1）胡夫金字塔的高度；

（2）胡夫金字塔的一个侧面三角形的面积；

（3）若从胡夫金字塔的底面中心O点出发，沿与底面成θ角的直线向上至金字塔顶点P，求该直线OP的最短长度，并求此时θ的大小。

解题过程：

首先，我们构建数学模型。设胡夫金字塔的底面正方形为ABCD，顶点为P，底面中心为O，底面边长AB=230.4米，侧面与底面夹角为51°50'（转换为弧度约为0.9076弧度）。

（1）求胡夫金字塔的高度：

由于胡夫金字塔的侧面为等腰三角形，我们可以选择一个侧面三角形PAB进行分析。在直角三角形PAO中，OA为底面的一半，即OA=1/2*AB=115.2米。侧面与底面夹角为∠PAO=51°50'。利用正弦函数，我们有：

sin∠PAO = OP/AP

由于AP是侧面三角形的斜边，等于侧面三角形的腰长，我们设其为l。则：

sin51°50' = OP/l

又因为cos∠PAO = OA/AP，所以：

cos51°50' = 115.2/l

利用sin²θ+cos²θ=1的关系，我们可以求出l：

l = OA/cos51°50' ≈ 146.57米

接着，利用正弦函数求OP（即金字塔高度）：

OP = l*sin51°50' ≈ 113.95米

所以，胡夫金字塔的高度约为113.95米。

（2）求胡夫金字塔的一个侧面三角形的面积：

侧面三角形PAB的底为AB=230.4米，高即为OP=113.95米（已求出）。利用三角形面积公式S=1/2*底*高，我们有：

S_PAB = 1/2 * 230.4 * 113.95 ≈ 13144.61平方米

所以，胡夫金字塔的一个侧面三角形的面积约为13144.61平方米。

（3）求从底面中心O点出发，沿与底面成θ角的直线向上至金字塔顶点P的最短长度，并求此时θ的大小：

考虑从O点到P点的直线OP，其长度L与底面夹角为θ。在直角三角形POA中，OA=115.2米，利用余弦定理或三角函数关系，我们有：

L = OA/cosθ = 115.2/cosθ

为了找到L的最小值，我们需要找到使cosθ最大的θ值。显然，当θ=0时，cosθ=1达到最大值，但此时直线OP与底面平行，不符合题意。因此，我们需要考虑θ在(0, π/2)范围内的情况。

由于cosθ在(0, π/2)范围内是单调递减的，所以L的最小值出现在θ的最大可能值处，即θ=π/2-∠PAO（因为此时直线OP与侧面PAB垂直，是到达P点的最短路径）。但这里我们采用另一种更直观的方法：利用导数求极值。

对L=115.2/cosθ求导得：

dL/dθ = 115.2*sinθ/cos²θ

令dL/dθ=0，解得θ=0（舍去）或θ=π/2（不符合题意，因为此时L→∞）。但注意到当θ从0增加到π/2时，L是单调增加的。因此，我们需要在θ=π/2-∠PAO处找到L的局部最小值。

由于∠PAO=51°50'，所以θ=π/2-51°50'≈38°10'（转换为弧度约为0.6662弧度）。

此时，L达到最小值，即：

L_min = OA/cos(π/2-∠PAO) = OA/sin∠PAO = 115.2/sin51°50' ≈ 136.73米

所以，从底面中心O点出发，沿与底面成θ≈38°10'角的直线向上至金字塔顶点P的最短长度为约136.73米。

综上所述，我们得到了2020年全国卷数学题胡夫金字塔的相关解法和答案。这道题不仅考察了考生对几何图形的理解和分析能力，还要求考生能够灵活运用三角函数等数学工具进行求解。希望通过对这道题的解析，能够帮助广大考生更好地掌握相关知识点，提高解题能力。